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一. 单层神经元实现线性回归

1.1 线性模型数学原理

线性回归模型定义为：

y=w·x+by=w·x+b

其中：

• ww：权重（Weight）
• bb：偏置（Bias）
• xx：输入特征
• yy：预测输出

目标：通过最小化均方误差（MSE）损失函数学习参数：

1.2 PyTorch实现代码

import torch  
import matplotlib.pyplot as plt  
# 生成数据  
X = torch.linspace(0, 10, 100).reshape(-1, 1)  
y = 3 * X + 2 + torch.randn(100, 1) * 2  # 添加噪声  
# 定义模型  
class LinearModel(torch.nn.Module):  
    def __init__(self):  
        super().__init__()  
        self.linear = torch.nn.Linear(1, 1)  # 单层神经元  
    def forward(self, x):  
        return self.linear(x)  
model = LinearModel()  
criterion = torch.nn.MSELoss()  
optimizer = torch.optim.SGD(model.parameters(), lr=0.01)  
# 训练循环  
losses = []  
for epoch in range(100):  
    pred = model(X)  
    loss = criterion(pred, y)  
    optimizer.zero_grad()  
    loss.backward()  
    optimizer.step()  
    losses.append(loss.item())  
# 可视化  
plt.scatter(X.numpy(), y.numpy(), label='Data')  
plt.plot(X.numpy(), model(X).detach().numpy(), 'r', label='Fitted Line')  
plt.legend()  
plt.show()

二. 线性模型实现二分类

2.1 逻辑回归原理

将线性输出通过Sigmoid函数映射到(0,1)区间：

损失函数使用二元交叉熵（BCE）：

2.2 代码实现与决策边界

from sklearn.datasets import make_moons  
# 生成二分类数据集  
X, y = make_moons(n_samples=200, noise=0.1)  
X = torch.tensor(X, dtype=torch.float32)  
y = torch.tensor(y, dtype=torch.float32).reshape(-1, 1)  
# 定义模型（增加Sigmoid激活）  
class LogisticRegression(torch.nn.Module):  
    def __init__(self):  
        super().__init__()  
        self.linear = torch.nn.Linear(2, 1)  
        self.sigmoid = torch.nn.Sigmoid()  
    def forward(self, x):  
        return self.sigmoid(self.linear(x))  
model = LogisticRegression()  
criterion = torch.nn.BCELoss()  
optimizer = torch.optim.Adam(model.parameters(), lr=0.1)  
# 训练  
for epoch in range(1000):  
    pred = model(X)  
    loss = criterion(pred, y)  
    optimizer.zero_grad()  
    loss.backward()  
    optimizer.step()  
# 可视化决策边界  
def plot_decision_boundary(model, X, y):  
    x_min, x_max = X[:,0].min()-0.5, X[:,0].max()+0.5  
    y_min, y_max = X[:,1].min()-0.5, X[:,1].max()+0.5  
    xx, yy = torch.meshgrid(torch.linspace(x_min, x_max, 100),  
                           torch.linspace(y_min, y_max, 100))  
    grid = torch.cat((xx.reshape(-1,1), yy.reshape(-1,1)), dim=1)  
    probs = model(grid).reshape(xx.shape)  
    plt.contourf(xx, yy, probs > 0.5, alpha=0.3)  
    plt.scatter(X[:,0], X[:,1], c=y.squeeze(), edgecolors='k')  
    plt.show()  
plot_decision_boundary(model, X, y)

关键输出：

• 训练后准确率 > 85%
• 决策边界图显示线性分类器的局限性

三. 多层感知机（MLP）手动推导与实现

3.1 手动推导反向传播

网络结构：输入层(2) → 隐藏层(4, ReLU) → 输出层(1, Sigmoid)

前向传播：

反向传播梯度计算：

3.2 PyTorch自动梯度实现

class MLP(torch.nn.Module):  
    def __init__(self):  
        super().__init__()  
        self.fc1 = torch.nn.Linear(2, 4)  
        self.fc2 = torch.nn.Linear(4, 1)  
        self.relu = torch.nn.ReLU()  
        self.sigmoid = torch.nn.Sigmoid()  
    def forward(self, x):  
        x = self.relu(self.fc1(x))  
        x = self.sigmoid(self.fc2(x))  
        return x  
model = MLP()  
optimizer = torch.optim.Adam(model.parameters(), lr=0.05)  
# 复用之前的训练循环  
# ...  
plot_decision_boundary(model, X, y)  # 显示非线性决策边界

优化技巧：

• 权重初始化：torch.nn.init.kaiming_normal_(self.fc1.weight)
• 学习率调度：scheduler = torch.optim.lr_scheduler.StepLR(optimizer, step_size=30, gamma=0.1)
• 梯度裁剪：torch.nn.utils.clip_grad_norm_(model.parameters(), max_norm=1.0)

四. 总结

4.1 核心要点总结

附：完整训练监控代码

from torch.utils.tensorboard import SummaryWriter  
writer = SummaryWriter()  
for epoch in range(1000):  
    pred = model(X)  
    loss = criterion(pred, y)  
    acc = ((pred > 0.5) == y).float().mean()  
    optimizer.zero_grad()  
    loss.backward()  
    optimizer.step()  
    writer.add_scalar('Loss/train', loss.item(), epoch)  
    writer.add_scalar('Accuracy/train', acc.item(), epoch)  
# 启动TensorBoard  
# tensorboard --logdir=runs

注：本文代码基于PyTorch 2.0+实现，运行前需安装：

pip install torch matplotlib scikit-learn tensorboard

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