赫尔移动平均线（Hull Moving Average，简称HMA）是一种技术指标，于2005年由Alan Hull开发。它是一种移动平均线，利用加权计算来减少滞后并提高准确性。

HMA对价格变动非常敏感，同时最大程度地减少短期波动可能产生的噪音。它通过使用加权计算来强调更近期的价格，同时平滑数据。

计算HMA的公式涉及三个步骤。首先，使用价格数据计算加权移动平均线。然后，使用第一步的结果计算第二个加权移动平均线。最后，使用第二步的结果计算第三个加权移动平均线。最终计算的结果就是移动赫尔平均线。

WMA_1 =一段时期内价格的加权移动平均值(WMA) /2

WMA_2 =价格在一段时间内的WMA

HMA_non_smooth = 2 * WMA_1 - WMA_2

HMA = HMA_non_smooth的WMA除以根号(周期)

在下面的文章中，我们将介绍如何使用Python实现HMA。本文将对计算WMA的两种方法进行详细比较。然后介绍它在时间序列建模中的作用。

Python实现HMA

方法1：将WMA计算为按时期加权的移动平均价格:

def hma(period):
wma_1 = df['Adj Close'].rolling(period//2).apply(lambda x: \
np.sum(x * np.arange(1, period//2+1)) / np.sum(np.arange(1, period//2+1)), raw=True)
wma_2 = df['Adj Close'].rolling(period).apply(lambda x: \
np.sum(x * np.arange(1, period+1)) / np.sum(np.arange(1, period+1)), raw=True)
diff = 2 * wma_1 - wma_2
hma = diff.rolling(int(np.sqrt(period))).mean()
return hma
period = 20
df['hma'] = hma(period)
df['sma_20days'] = df['Adj Close'].rolling(period).mean()
figsize = (10,6)
df[['Adj Close','hma','sma_20days']].plot(figsize=figsize)
plt.title('Hull Moving Average {0} days'.format(period))
plt.show()

如图所示，HMA比通常的SMA反应更快:

还可以尝试更短的时间框架，看看HMA与价格曲线的关系有多密切。

df['hma_short']=hma(14)
df['hma_long']=hma(30)
figsize = (12,6)
df[['Adj Close','hma_short','hma_long']].plot(figsize=figsize)
plt.title('Hull Moving Average')
plt.show()

方法2，使用体量计算加权平均值:

def hma_volume(period):
wma_1 = df['nominal'].rolling(period//2).sum()/df['Volume'].rolling(period//2).sum()
wma_2 = df['nominal'].rolling(period).sum()/df['Volume'].rolling(period).sum()
diff = 2 * wma_1 - wma_2
hma = diff.rolling(int(np.sqrt(period))).mean()
return hma
df['nominal'] = df['Adj Close'] * df['Volume']
period = 20
df['hma_volume']=hma_volume(period)
figsize=(12,8)
fig, (ax0,ax1) = plt.subplots(nrows=2, sharex=True, subplot_kw=dict(frameon=True),figsize=figsize) 
df[['Adj Close','hma_volume','hma']].plot(ax=ax0)
ax0.set_title('HMA Volume vs HMA period')
df[['Volume']].plot(ax=ax1)
ax1.set_title('Hull Moving Average')
plt.show()

体量的HMA比第一种方法计算的HMA稍滞后:

策略的回溯测试

为了回测每种策略(方法1和2)，我们将计算一个短期和一个长期的HMA:

当短线超过长线时，可以触发买入指令。当短线低于长线时，就会触发卖出指令。

然后我们计算每个信号产生的pnl。

方法1：

#SIGNAL
df['hma_short']=hma(20)
df['hma_long']=hma(30)
df['signal'] = np.where(df['hma_short'] > df['hma_long'],1,-1)
#RETURN
df['signal_shifted']=df['signal'].shift()
## Calculate the returns on the days we trigger a signal
df['returns'] = df['Adj Close'].pct_change()
## Calculate the strategy returns
df['strategy_returns'] = df['signal_shifted'] * df['returns']
## Calculate the cumulative returns
df1=df.dropna()
df1['cumulative_returns'] = (1 + df1['strategy_returns']).cumprod()
#PLOT
figsize=(12,8)
fig, (ax0,ax1) = plt.subplots(nrows=2, sharex=True, subplot_kw=dict(frameon=True),figsize=figsize) 
df[['Adj Close','hma_long','hma_short']].plot(ax=ax0)
ax0.set_title("HMA: Short vs Long")
df[['signal']].plot(ax=ax1,style='-.',alpha=0.4)
ax1.legend()
ax1.set_title("HMA - Signals")
plt.show()
df1['cumulative_returns'].plot(figsize=(10,4))
plt.title("Cumulative Return")
plt.show()

你可以看到每次产生的信号都有一条交叉线:

在数据集的整个时间段内产生的总体回报是正的，即使在某些时期它是负的:

回报率：

df1['cumulative_returns'].tail()[-1]
#1.0229750801053696

方法2：

#SIGNAL
df['hma_volume_short']=hma_volume(20)
df['hma_volume_long']=hma_volume(30)
df['signal'] = np.where(df['hma_volume_short'] > df['hma_volume_long'],1,-1)
#RETURN
df['returns'] = df['Adj Close'].pct_change()
## Calculate the strategy returns
df['strategy_returns'] = df['signal'].shift() * df['returns']
## Calculate the cumulative returns
df2=df.dropna()
df2['cumulative_returns_volume'] = (1 + df2['strategy_returns']).cumprod()
# PLOT
figsize=(12,8)
fig, (ax0,ax1) = plt.subplots(nrows=2, sharex=True, subplot_kw=dict(frameon=True),figsize=figsize) 
df[['Adj Close','hma_volume_short','hma_volume_long']].plot(ax=ax0)
df[['signal']].plot(ax=ax1,style='-.',alpha=0.4)
ax0.set_title("HMA - Volume: Short vs Long")
ax1.legend()
plt.title("HMA - Signals")
plt.show()
figs = (10,4)
df2['cumulative_returns_volume'].plot(figsize = figs)
plt.title("Cumulative Return")
plt.show()

看起来比第一种方法中的HMA更平滑，可以触发的信号更少(在我们的例子中只有1个):

这种策略产生的回报不是很好:0.75(0.775-1=>-24%)

df2['cumulative_returns_volume'].tail()[-1]
#0.7555329108482581

我们来比较两种策略的信号:

df['signal'] = np.where(df['hma_short'] > df['hma_long'],1,-1)
df['signal_volume'] = np.where(df['hma_volume_short'] > df['hma_volume_long'],1,-1)
figsize=(12,8)
df[['signal','signal_volume']].plot(figsize=figsize)
plt.show()

空头头寸的信号比多头头寸更多：

所以仅使用HMA还不足以产生有利可图的策略。我们可以使用相对强弱指数（RSI）和随机指数（Stochastic Oscillator等其他指标来确认交易信号。但是对于时间序列来说，HMA是一个很好的特征工程的方法。

HMA信号的一些解释

交叉信号:当价格越过HMA上方时，可以解释为看涨信号，当价格越过HMA下方时，可以解释为看空信号。它也可以触发买入和卖出信号，正如我们之前已经看到的。(上图点1)。

趋势跟踪信号:HMA也可用于识别趋势并生成趋势跟踪信号。当HMA倾斜向上时，它表示上升趋势，当它倾斜向下时，它表示下降趋势(上图点2)。

反转信号:当价格从下方接近HMA时，看涨反转趋势可能在不久的将来发生(上图点3)。

HMA在时间序列建模的作用

HMA在时间序列建模中的作用主要是作为一个平滑滤波器，可以在一定程度上减少噪声并提高时间序列预测的准确性。在时间序列建模中，经常需要对数据进行平滑处理，以消除异常值和噪声，同时保留趋势和季节性变化的信号。HMA是一种有效的平滑滤波器，它通过加权平均的方式来计算平均值，并对较早的数据施加更大的权重，从而可以更准确地捕捉趋势性信号。

除了作为一个平滑滤波器，HMA还可以作为一个特征提取器来提取时间序列中的特征，并用于建立预测模型。例如，可以使用HMA计算时间序列中的趋势和季节性变化，并将其作为输入特征用于构建ARIMA、VAR或LSTM等预测模型。

总结

HMA不仅在交易中有广泛的应用，也是一种有用的时间序列分析工具。HMA作为一种移动平均线，可以减少时间序列中的噪声和突发性变化，从而更准确地捕捉数据的趋势性和周期性变化。在时间序列分析中，HMA通常用于平滑处理数据，以提高预测的准确性。在实际应用中，HMA常常与其他技术指标和时间序列分析方法相结合，在各种数据分析和预测任务中获取更好的预测结果。

作者：Hanane D.