Q-Q图是检验任何随机变量（如正态分布、指数分布、对数正态分布等）分布的图形方法，是观察任何分布性质的一种统计方法。

例如，如果给定的一个分布需要验证它是否是正态分布，我们运行统计分析并将未知分布与已知正态分布进行比较。然后通过观察Q-Q图的结果，我们可以确定给定的分布是否正态分布。

绘制Q-Q图的步骤：

1. 给定一个未知的随机变量。
2. 找到每个百分位值
3. 生成一个已知的随机分布，根据该分布同样遵循步骤1-2。
4. 绘制Q-Q图

给定一个随机分布，需要验证它是否为正态/高斯分布。为了便于理解，我们将这个未知分布命名为X，将已知的正态分布命名为Y。

生成未知分布X:

X = np.random.normal(loc=50, scale=25, size=1000)

我们正在生成一个正态分布，有1000个值，平均值=50，标准差=25。

查找1%~100%：

X_100 = []
for i in range(1,101):
    X_100.append(np.percentile(X, i))

计算每个百分位数（1%，2%，3%，. . .，99%，100%）X的随机分布值，并将其存储在X_100中。

生成已知的随机分布Y及其百分位值：

Y = np.random.normal(loc=0, scale=1, size=1000)

生成一个正态分布，其平均值为0，标准偏差为1，需要与未知分布X进行比较，以验证X分布是否正态分布。

Y_100 = []
for i in range(101):
    Y_100.append(np.percentile(Y, i))

计算每个百分位数（1%，2%，3%，. . .，99%，100%）Y的随机分布值，并将其存储在Y_100中。

绘图：

为以上获得的未知分布值绘制散点图。

这里X是未知分布，要与Y这个正态分布相比。

对于Q-Q图，如果图中的散点在一条直线上，则两个随机变量具有相同的分布，否则它们具有不同的分布。

从上面的Q-Q图可以看出X是正态分布的。

如果两个分布不一样呢？

如果X不是正态分布，并且它有其他分布，那么如果Q-Q图是在X和正态分布之间绘制的，那么散射点就不会在一条直线上。

这里，X分布是对数正态分布，因此Q-Q图中的散射点不是直线。

让我们再观察一下：

这是4个不同条件下X和Y分布的Q-Q图。

• 左上：对数正态分布与正态分布的QQ图
• 右上：正态与指数分布的QQ图
• 左下：指数与指数分布的QQ图
• 右下：logistic与logistic分布的QQ图

python实现：

import numpy as np
import matplotlib.pyplot as plt

X = np.random.normal(loc=50, scale=25, size=1000)
X_100 = []
for i in range(1,101):
  X_100.append(np.percentile(X, i))

Y = np.random.normal(loc=0, scale=1, size=1000)
Y_100 = []
for i in range(1,101):
  Y_100.append(np.percentile(Y, i))

plt.scatter(X_100, Y_100)
plt.grid()
plt.ylabel("Y - normal distribution")
plt.xlabel("X - normal distribution")
plt.show()

结论

Q-Q图可以用来比较任意两个分布，并且可以通过与已知分布的比较来验证未知分布。这种方法有一个主要的局限性，即需要大量的数据点，因为得出较少的数据不是明智的决定。通过观察Q-Q图可以预测这两种分布是否相同。